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2010.04.27

『天地明察』まとめの2

角星+亢星=9.5寸(10寸)

心星+尾星+箕星=21寸(27寸5分)

虚星+危星+室星+壁星+奎星=52.5寸(40寸)

※カッコ内は『天地明察』の問題

以上のように問題を作ると解は4.5寸となる。ただし、各星の周の長さは0.5寸刻みとなるが(苦笑。
他にも、10寸、28.5寸、82.5寸でも成り立つが、この時は1寸刻み。10寸、31.6寸、116寸ならば全ての条件を満たす感じになる。

また、9.5寸、1751/70寸、58寸で30/7寸の解となる。10寸、2493/70寸、121.5寸でも同様の解となる。

別のアプローチとして3次の式として捉え、

a(n) = pn^3 + qn^2 + rn + s

として、a(1) = 4.5 を前提に置くと、

1 4.5
2 5.5
3 6.511877944
4 7.495392177
5 8.410301044
6 9.216362892
7 9.873336064
8 10.34097891
9 10.57904976
10 10.54730698
11 10.20550891
12 9.513413885
13 8.430780258
14 6.917366373
15 4.932930575

となる。大小関係は前提として崩壊しているわけだが。5星の和を65寸以上に設定すれば大小関係も問題なくなる。もちろん、解が分かっていることが前提となる解き方なので、3次ならと無術となるが。
和の数を変えずに、足す星の数を増やしたりでは4.5寸などの明快な解は得られそうにない。

作品の楽しさを損なうものではないとはいえ、理系的な粗が随所に見えているようだ。今後重版などで修正されるかもしれないが、「カレンダーの余白」さんでは緯度と経度が間違っている記述があるそうだし、「digital西行庵blog」さんでは無術となった算額の問題や駕籠代に対する不明瞭さも指摘されている。
繰り返すが、作品本来の面白さは素晴らしく、本屋大賞受賞になんら異論はない。ただ折角算術などを取り上げた作品だけに、その部分に難があるのは惜しまれる。

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コメント

「天地明察」についての、いろいろなご指摘を読ませていただきました。
自分には、そこまで深いところまでは分かりませんでした。

ところで、例の3番目の問題ですが、
円ではなく球(扁球 碁石のような形)ととらえ、
「周」は赤道周(これが本に載っていた円)ではなく、楕円周だと捕らえれば、少なくともストライクゾーンは存在しえるのではないでしょうか。そこを通る美しい法則というのが自分には出せないのですが・・・

http://blog.goo.ne.jp/hirosawa_s/e/b50afbf6f57e91be5da4361eb040b9d9

こちらをごらんいただければ幸いです。

こんにちは。ブログ読ませていただきました。

着眼は非常に面白いと思います。この問題の元になった算額の問題文との比較でも、「円」が「球」に変更されていますし、著者がそう考えた可能性もあるとは思います。
ただ数学的に考えてみると、回転楕円体の長径が増大するという条件のみでこの問題を解くことは不可能であるように思います。

ブログに書かれていた関孝和の楕円周の近似値では、楕円周の近似値^2=4(長径-短径)+π^2×長径×短径 とありますが、角星の4.5寸、亢星の5.5寸という条件だけではそれぞれの長径、短径の値は求められないように思えます。

http://www.edu.nagasaki-u.ac.jp/private/hiraoka/6-wasan.pdf

楕円球を持ち出せば、作中に書かれた解が間違っていないことにはなりますが、この問題自体はおそらく無術になってしまうでしょう。図が原寸大で長径の長さを測って求められれば解法もありそうなんですが^^;

碁石という発想は本当に面白いです。もし、著者によって秘められた解法があるのならば、間違いなくこれであと一歩のところまで迫っている気がします。あれば、ですが・・・。

色々な人がご指摘のように、このままでは
この問題は無術になってしまっています。

そこで、なるべく物語の趣旨を活かした
問題を設定できないかと考えました。

まず、
a_n=p n^2 + q n + r と表記します。

すると、問題は

a_1+a_2 = 5p + 3q + 2r = x ...(1)
a_5+a_6+a_7 = 110p + 18q + 3r = y ... (2)
a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15} = 855p + 65q + 5r =z ... (3)

です(物語では x=10,y=27.5,z=40)。

答えの角星の周の長さ(=a_1)を、最初の絵馬の問題の答えであり、
著者がこだわっている値の
30/7 にしようとすると

a_1=p+q+r=30/7 ...(4)

とならないといけない。 しかし、これを満たすような
整数あるいは半整数(整数+1/2)の x, y, z は 存在しない。

なぜなら、

上記の4式(1)~(4)から p, q, r を消去すると

164400 = 22155 x - 2345 y + 217 z

となる。 しかし、右辺にある係数: 22155,2345,217 の
最大公約数 (GCD) が 7 であるのに対して 左辺の
164400 は、7 の倍数ではないから。

したがって、著者がこだわっている値の 30/7
という答えにしようとすると、x,y,z のうち少
なくとも一つは 分母が 7 倍数であるような(既約)
分数である必要がある。もちろん、整数か半整数である x, y, z にはできない。 原因は、
問題の答えである 30/7 の分母の 7 だろう。

そうはいっても、やはり答えはバシッと
30/7 にしたい。なぜなら、この問題は物語の山場であって、かつ答えが 30/7 というのがミソだから。更に、問題文の x,y,z は、整数か半整数でないと問題として格好がつかない。

これを満たすには、y = とする3つ星 あるいはz = とする5つ星 の位置をずらすのが、ひとつの方法。

以下、よさそうな問題文の設定は
 
(A)
3つ星の条件を

a_7+a_8+a_9=(箕星+斗星+牛星)=
194 p + 24 q + 3 r = y

と変更して、 

x=10,y=52,z=155 とする。

すると、 

p = 1/14, q = 17/14, r = 3 となり、

おおよその a_n(1≦i≦15) の値は、

{4.29, 5.71, 7.29, 9.00, 10.9, 12.9, 15.0, 17.3, 19.7, 22.3, 25.0,
27.9, 30.9, 34.0, 37.3}

で単調増加。

(B)
5つ星の条件を

a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14} =
(女星+虚星+危星+室星+壁星)=
730 p + 60 q + 5 r = z

と変更して

x=9, y=21.5, z=65 とする。

すると、

p=1/28,q=9/28,r=55/14 となり、

おおよその a_n(1≦i≦15) の値は、

{4.29, 4.71, 5.21, 5.79, 6.43, 7.14, 7.93, 8.79, 9.71, 10.7, 11.8,
12.9, 14.1, 15.4, 16.8}

で単調増加。

コメントありがとうございます。

問題自体は中学・高校レベルの数学で作ったり解いたりできるレベルですので、著者ももう少しキチンと問いを立ててくれれば良かったのですが・・・。

でも、問いが間違いだったからネット等で話題になった面もあると考えれば、それもまた著者の狙いだったのかも・・・(考えすぎかもですがw)

とはいえ、作品の出来自体は素晴らしく、算術の問題が正しいかどうかは枝葉のことです。まあ、だからこそ枝葉にまで完璧を求めたくもなってしまいますが。

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